La matematica della decrescita dell'epidemia

Se ascoltiamo giorno per giorno le cifre che vengono pubblicate relative ai nuovi contagi giornalieri in Italia, e che qui riproduciamo dal 7 maggio all'8 giugno, ci si rende conto che sono in decrescita, ma sembra che abbiano una elevata irregolarità casuale, ed è quindi interessante chiederci se invece non ubbidiscano a qualche regola matematica che ci permette poi di avanzare ipotesi su ciò che determina le fasi di decrescita.

Passando dalle frequenze assolute giornaliere dei contagi riportate in tabella alle incidenze giornaliere ottenute dividendo queste per la popolazione italiana e moltiplicando per 100.000 si ottiene il grafico rappresentato in figura 1.

Si osservano chiaramente sia la decrescita dei contagi sia la ciclicità settimanale che sembra ridursi di settimana in settimana. Trasformando però i valori nei loro logaritmi si vede in figura 2 come praticamente i cicli hanno tutti la stessa forma e dimensione e ciò avviene perché il fattore ciclicità agisce come moltiplicatore, cioè ciò che lui determina è proporzionale all'ampiezza del fenomeno.

Per togliere l'effetto della ciclicità, una soluzione comunemente praticata anche in MADE è il passaggio dai valori giornalieri ai valori delle medie mobili a sette elementi centrate su quello centrale. Ciò significa che ad ogni data viene assegnata la media dei valori suoi e dei tre precedenti e dei tre seguenti. Le medie mobili sono presentate in figura 3. Ad un risultato simile si perviene peraltro anche calcolando la regressione loglineare delle incidenze giornaliere come mostrato in Figura 4.

Se l'andamento è esponenziale, il parametro della pendenza (slope) rimane costante per tutto il trend e risulta pari a 0,94989, quindi praticamente 0,95. Se confrontiamo questo valore con il rapporto del decremento proporzionale giornaliero delle incidenze osservate vediamo una forte corrispondenza.

Se invece analizziamo l'andamento dell'indice RD_t di replicazione diagnostica su base settimanale si vede in figura 6 che questo corrisponde in media alla settima potenza dello slope dell'esponenziale dei valori giornalieri. Si osserva un incremento dell'RD_t dal 17 al 30 maggio che poi è ritornato da inizio giugno   sui valori medi. Il perché di questa anomalia, che peraltro ci aveva allarmati, non è facile da capire anche se parte della riduzione dei casi è attribuibile ad una riduzione di test diagnostici in occasione del ponte del 2 giugno.

Dato questo andamento molto regolare, peraltro simile a molte fasi decrescenti delle epidemie,  può essere interessante provare a vedere come potrebbe essere l'evoluzione dell'incidenza nelle prossime settimane, ad esempio sino al 15 di agosto. Il trend esponenziale è quello di figura 7 e se si trasforma la scala dell'ordinata in termini logaritmici si vede che il trend risulta appunto rigorosamente loglineare.

In conclusione i contagi nell'ultimo mese sono diminuiti del 5% ogni giorno e quindi l'RDt , ed anche l'R_t, sono rimasti stabili attorno al valore di 0,70, il che significa che i casi diminuiscono del 30% ogni settimana e in termini assoluti se l'epidemia continuasse a decrescere come sta succedendo, queste sarebbero le frequenze attese di contagi da qui a ferragosto:

Vedremo se la situazione epidemica continuerà a "rispettare" queste regole matematiche comuni alle fasi decrescenti o se invece qualcosa cambierà, e in tal caso speriamo cambi in bene e non in male!

Non è facile spiegare comunque la ragione del decremento esponenziale, ma almeno in parte si può ritenere che questo sia dovuto alle vaccinazioni della popolazione. Si può infatti ritenere che il numero dei contagi derivi da una relazione abbastanza complessa, ma così approssimativamente semplificabile:

contagiati giornalieri = (suscettibili x contagianti a lag precedenti) * media contatti per soggetto * contagiosità

Ipotizzando che la media dei contatti di ciascun contagiante e la capacità di contagiare rimangano costanti, le vaccinazioni contraggono sia il numero dei suscettibili sia il numero dei possibili contagianti. Seppur le vaccinazioni procedono in forma additiva (circa cinquecentomila al giorno), la proporzione dei suscettibili diminuisce in misura più che lineare e così anche il numero dei contagiati che a loro volta diventano possibili contagianti. L'effetto prevedibile è proprio allora un effetto di decrescita esponenziale.

È probabile che la diminuzione giornaliera costante del 5% dei contagi non sia attribuibile tutta alle vaccinazioni, ma sicuramente la forma esponenziale della decrescita è probabile che ne sia un effetto che si combina con altri effetti quali ad esempio quelli dovuti alle misure di contenimento. Vedremo nei prossimi   giorni se la sospensione di tali misure comporterà delle modifiche nell'andamento delle frequenze di nuovi soggetti positivi.