Come far di conto in una epidemia

La “Matematica delle epidemie” è un settore dell’epidemiologia che ha avuto uno sviluppo notevole e che ha prodotto una serie di modelli per descrivere e per stimare la dinamica delle epidemie. Nei corsi di epidemiologia spesso se ne fa solo un accenno ed infatti queste competenze non sono per lo più acquisite dalla maggior parte degli epidemiologi e sono invece appannaggio solo di alcuni statistici e matematici. Sarebbe pertanto auspicabile che oltre alle competenze necessarie per analizzare le patologie croniche ed i relativi fattori di rischio, i giovani epidemiologi, dato i tempi, incominciassero ad attrezzarsi per saper meglio operare anche in campo infettivologico.

Qui di seguito, come dilettanti non matematici, ci si permetta di riportare solo alcune nozioni elementari che possono essere utili per capire quel che sta succedendo nella popolazione con l’epidemia da Covid-19.

Teorema della soglia di Kendall

Se in una popolazione “non finita” ogni soggetto infetto contagia mediamente più soggetti il numero di nuovi infetti nell’unità di tempo crescerà in modo esponenziale. Se invece ogni soggetto infetto arriva mediamente a contagiarne un solo allora il numero di infetti rimane costante nel tempo. Se infine ogni soggetto contagia mediamente meno di un soggetto, il numero di infetti decresce e l’epidemia, seppur magari lentamente, si estingue.

I calcoli sui dati dell’epidemia da corona virus sembrano indicare che ogni infetto abbia mediamente contagiato tra i due ed i tre individui e se la situazione rimane questa il trend del numero di infetti non potrà che essere esponenziale. È quindi evidente che l’azione di contenimento deve operare nel tentativo di ridurre il numero di contagi prodotto da ogni soggetti infetto; la dinamica è ben descritta nei modelli SIR.

Il modello S.I.R.

NB: per chi non visualizza correttamente le formule suggeriamo di scaricare il testo in formato PDF che si trova in calce [ndr].

In una popolazione P , prima che l’epidemia abbia inizio, ci possono essere dei soggetti ns , cioè non suscettibili ad esser contagiati da un determinato agente infettivo, e dei soggetti s₀ , cioè suscettibili al contagio nel momento in cui l’epidemia dovesse iniziare.

La misura più efficace sarebbe allora quella di cercare di aumentare il rapporto ∑(ns) /∑(s₀), cioè tra tutti i soggetti non suscettibili e tutti i suscettibili, che può essere indicatoespresso così che può essere espresso così: nS/S₀. Questo lo si potrebbe fare con un vaccino, ma purtroppo nel caso del Covid-19 non è ancora disponibile e probabilmente non lo sarà a breve.

Indicando nell’evoluzione dell’epidemia con N la totalità dei soli s0, cioè di tutti i soggetti suscettibili prima dell’inizio dell’epidemia, possiamo indicare che al tempo n,  N = N_n = S_n + I_n + R_n  e poi al tempo n+1 , N = N_n+1 = S_n+1 + I_n+1 + R_n+1 , indicando con  I la totalità degli i infetti e con R la somma degli r soggetti cd rimossi, cioè guariti o purtroppo deceduti, comunque non più suscettibili. Si consideri anche che da n a n+1,  S_n >= S_n+1 e R_n <= R_n+1 , cioè i suscettibili non aumentano e i rimossi non diminuiscono, cioè si ipotizza nel modello più elementare, che non possano esserci reinfezioni  negli stessi soggetti già infettati e guariti.
Considerando che i contagi possono avvenire se un soggetto s suscettibile incontra un soggetto i infetto, la totalità degli incontri possibili sarà S_n moltiplicato I_n e quindi la potenza del contagio, qui considerata costante nel tempo,  sarà γ =  I_n / (S_n  I_n) e l’intensità della rimozione sarà q = R_n / I_n .

Le equazioni del modello SIR possono essere indicate nella loro espressione più semplice come segue:

Sn+1 = S_n - γ I_nS_n+1   (cioè i suscettibili a n+1 sono quelli a n meno la quota di contatti contagiosi avvenuti)

I_n+1 = I_n + γ I_nS_n+1 – q I_n   (cioè gli infetti cresceranno  per i nuovi infetti e diminuiranno per i nuovi rimossi)

R_n+1 = R_n + q I_n   (cioè i rimossi aumenteranno dei guariti e dei deceduti tra n ed n+1)

La seconda equazione può anche esser scritta così: I_n+1 = I_n + γ (S_n – q / γ)In da cui si può dedurre che il numero di infetti cresce se S_n > q / γ mentre decresce se S_n < q / γ

q /γ può considerarsi l’indice di contenimento dell’epidemia e quindi le misure da compiere sono sia quelle che fanno crescere q sia quelle che fanno diminuire γ: in veterinaria la crescita di q avviene sacrificando gli animali infetti, misura che ovviamente non può essere adottata in una epidemia umana dove si dovrebbe cercare di far guarire il più in fretta possibile gli infetti, cosa che risulta tutt’altro che semplice nell’epidemia da corona virus. Non resta allora che lavorare perché sia γ a diminuire, e ciò si può sperare di ottenerlo sia diminuendo le occasioni di incontro tra suscettibili e infetti, sia cercando che gli eventuali incontri siano protetti dal rischio di contagio. Le misure di confinamento o di dislocamento della popolazione fanno parte del primo tipo di provvedimenti, mentre gli altri possibili consistono nell’assunzione da parte di ciascuno di giuste cautele igieniche.

La registrazione dei dati dell’epidemia

Questi brevi e semplificati cenni alla modellistica epidemica mostra

no l’importanza di poter avere dati il più possibilmente esatti sull’andamento dell’epidemia per poter stimare i vari elementi che la caratterizzano. In particolare sarà molto importante poter stimare le necessità di strutture assistenziali e nel caso dell’epidemia in corso la necessità soprattutto di posti in reparti ospedalieri di isolamento e ancor più in reparti di terapia intensiva.

Modelli più complessi e sofisticati permettono di effettuare delle stime anche su molti altri aspetti dell’epidemia ma nessun modello può funzionare se i dati da implementare non sono corretti e completi e quindi è molto importante che ci si preoccupi di garantire durante l’epidemia di un sistema informativo di elevata qualità.

Competenza ed erroneità sono inversamente proporzionali

Ci si renda conto che le decisioni che l’autorità politico-sanitaria deve assumere non possono essere lasciate solo al buon senso di persone incompetenti, ma devono fondarsi su indicatori il più possibile precisi e su azioni auspicabilmente evidence-based.

Desta molta preoccupazione che personaggi mediaticamente importanti come la bravissima sciatrice Federica Brignone, prima in classifica della coppa del mondo di sci alpino, faccia le dichiarazioni oggi 2 marzo riportate su una pagina del quotidiano La Repubblica. Non penso che un epidemiologo sarebbe in grado di suggerire alla Brignone come fare per guadagnare quel centesimo di secondo che le sarebbe servito per vincere nell’ultima gara disputata; forse altrettanto è opportuno però che chi non ha competenza in materia di controllo epidemico accetti le disposizioni delle autorità fondate su indicazioni di esperti, anche se queste producono fastidi o perdite economiche. Si tenga ben presente anche che sono meglio delle perdite subite per le misure di contenimento che quelle che potremmo tutti subire se l’epidemia, come speriamo non accada, dovesse dilagare su larga scala.

Se per un’influenza “normale” che colpisce verosimilmente dieci milioni di persone durante un inverno la letalità è dell’ 1 per 1000 e quindi i probabili decessi attesi sono diecimila, se l’epidemia da corona virus si dilatasse nella stessa misura ma con una letalità del 2 per 100, i decessi sarebbero duecentomila, davvero troppi! Si accetti perciò di buon grado le disposizioni in corso e non si contribuisca a rinfocolare il dissenso al riguardo.

Una breve bibliografia in tema di “matematica dell’epidemia”

Per leggere la maggior parte dei testi e degli articoli di matematica delle epidemie occorre una sufficiente preparazione matematica che io per lo più sento di non aver a sufficienza. In ogni modo per chi volesse approcciarsi alla materia diamo alcuni suggerimenti bibliografici di testi a diverso livello di approfondimento e raccolti da me in modo certamente incompleto e non sistematico.

Testi di Biologia Matematica

G.Gaeta, Modelli matematici in Biologia, Springer Italia, 2009.

J. D. Murray, Mathematical Biology, Springer-Verlag, 2002.

V. Capasso, Mathematical Structures of Epidemic Systems, Lecture Notes in Biomathematics, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2008.

A.Vespignani, L’algoritmo e l’oracolo, Il Saggiatore, 2019

Testi, Articoli, Tesi di Laurea (disponibili in internet)

AA.VV, Preliminary analysis of the 2019 nCOV outbreak in Wuhan city (https://www.mobs-lab.org/2019ncov.html)

Wikipedia, Compartmental_models_in_epidemiology (https://en.m.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology)

D.Smith and L.Moore, The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model (https://www.maa.org/press/periodicals/loci/joma/the-sir-model-for-spread-of-disease-the-differential-equation-model)

M. Choisy,F. Guégan, and P. Rohani, Mathematical Modeling of Infectious Diseases Dynamics (https://www.mivegec.ird.fr/images/stories/PDF_files/0507.pdf)

M.Accorinti, A.Amore,S.Cucchiara, Modello epidemico SIR applicato all’influenza A (H1N1) (https://www.academia.edu/37528761/Modello_SIR_applicato_all_influenza_A_H1N1)

D.Zagaria, Predire l’epidemia (https://www.iltascabile.com/scienze/predire-le-epidemie/)

A.Marasco, Modelli epidemiologici SIS e SIR (http://www.federica.unina.it/smfn/metodi-e-modelli-matematici/modelli-epidemiologici-sis-sir/)

S.Andraghetti, Trasmissione di malattie infettive e diffusione di epidemie su network: modelli matematici, Tesi di Laurea (https://amslaurea.unibo.it/3093/1/Andraghetti_Sara_tesi.pdf)

A.Pugliese, Modelli di epidemie (http://www.science.unitn.it/~anal1/biomat/note/epidem_omog.pdf)

R.Natalini, La matematica delle epidemie: istruzioni per l’uso (http://maddmaths.simai.eu/divulgazione/focus/epidemie-matematica/)

E.Fornasini, Modellistica delle epidemie (http://www.dei.unipd.it/~fornasini/Bozza%20Cap10_31_05_2017.pdf)

E.Scandurra, Controllo ottimale di epidemie di tipo SIR mediante vaccinazione. Tesi di laurea(http://people.dm.unipi.it/acquistp/scandurra.pdf)

S.Strada, Modello epidemico SIR (semplificato) del virus Ebola. Esercitazione (http://home.deib.polimi.it/strada/teaching_files/FondamentiAutomatica_ges_Milano/fda_ges_milano_files/Esercitazioni/ebola.pdf)

Conclusione

In situazioni di emergenza come quella attuale dell’espandersi dell’epidemia di corona virus prendere dei provvedimenti efficaci ed opportuni non è cosa semplice e talvolta si può anche sbagliare, ma certamente la probabilità di errore è inversamente proporzionale alla competenza di chi ha dato le necessarie indicazioni. Prudenza quindi vuole che, fino a prova contraria, ci fidiamo più di loro che di noi stessi, anche se ci chiedono dei sacrifici. Insomma, meglio rinunciare ad un uovo oggi che ad una gallina domani.